№38391

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. На луче \(DC\) отложен отрезок \(DA_{1}\), равный стороне \(ВС\), а на луче \(ВА\) отложен отрезок \(ВС_{1}\), равный стороне \(AD\). Докажите, что прямая \(BD\) делит отрезок \(А_{1}С_{1}\) пополам.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38375:

Перпендикуляры, проведённые из точек \(А_{1}\) и \(С_{1}\) к прямой \(BD\), равны \(DA_{1}sin BDC = BC sin BDC\) и \(BC_{1}sin ABD = AD sin ABD\) (рис. 230). Оба числа \(BC sin BDC\) и \(AD sin ABD\) равны диаметру окружности, описанной вокруг четырёхугольника.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№18.17.png'>