№38386

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Из вершин произвольного выпуклого четырёхугольника проведены перпендикуляры к его диагоналям. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в основаниях этих перпендикуляров подобен исходному.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38370:

Пусть \(O\) - точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника \(ABCD\). Выполните сначала гомотетию с коэффициентом \(cos AOB\) и центром \(О\), а затем симметрию относительно биссектрисы угла \(АОВ\). При этом преобразовании вершины четырёхугольника переходят в основания перпендикуляров.