№38385

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В остроугольном треугольнике \(АВС\) проведены высоты \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\). Докажите, что отношение площади треугольника \(A_{1}B_{1}C_{1}\) к площади треугольника \(АВС\) равно \(2 cos A cos B cos C\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38369:

Треугольник \(AB_{1}C_{1}\) подобен треугольнику \(ABC\), и коэффициент подобия равен \(cos А\), поэтому \(B_{1}C_{1} = BC cos A\). Аналогично \(A_{1}C_{1} = AC cos В\). Кроме того, \(\angle A_{1}C_{1}B_{1} = 180^\circ - 2 \angle C\). Поэтому отношение площади треугольника \(А_{1}В_{1}С_{1}\) к площади треугольника \(АВC\) равно \(frac{cos A cos B sin 2C}{sinC} = 2cos A cos B cos C\).