№38382

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Точка \(X\) движется по окружности, описанной около равностороннего треугольника \(АВС\). Докажите, что при этом величина \(AX^2 + BX^2 + CX^2 остается постоянной.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38366:

Пусть для определённости точка \(X\) находится на дуге \(АВ\) и на дугу \(АХ\) опирается центральный угол \(2\alpha\). Тогда \(AX = 2Rsin \alpha\), \(BX = 2R sin (60^\circ - \alpha)\) и \(CX = 2Rsin (60^\circ + \alpha)\); здесь \(R\) - радиус описанной окружности. Поэтому согласно задаче 18.7 \(AX^2 + BX^2 + CX^2 = 6R^2\).