№38381

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что \((sin \alpha)^2 + (sin (60^\circ + \alpha))^2 + (sin(60^\circ - \alpha))^2 = \frac{3}{2}\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38365:

Из формулы синуса суммы углов следует, что \((sin (60^\circ \pm \alpha))^2 = \frac{1}{4}(3^(1/2) cos \alpha \pm sin \alpha)^2 = \frac{1}{4}(3(cos \alpha)^2 \pm 2 3^(1/2)cos \alpha sin \alpha + (sin \alpha)^2)\). Поэтому \((sin(60^\circ + \alpha)^2 + (sin(60^\circ - \alpha)^2 = \frac{1}{2}(3(cos \alpha)^2 + (sin \alpha)^2)\).