№38377

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что если \(\alpha + \beta < 180^\circ\), то \(cos (\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38361:

Возьмите треугольник \(АВС\) со стороной \(ВС = 1\) и углами \(\angle A = \alpha\) и \(angle B = \beta\) и проведите перпендикуляр \(ВН\) к прямой \(AC\) (рис. 229). Предположите, что углы \(\alpha\), \(\beta\) и \(\alpha + \beta\) меньше \(90^\circ\). Тогда \(CH = АН - AC\), т. е. \(cos(\alpha + \beta) = \frac{sin(\alpha + \beta)}{sin\alpha}cos\alpha - \frac{sin\beta}{sin\alpha}\). Воспользовавшись тем, что \(sin (\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta\), легко получить требуемое. Случаи, когда один из углов \(\alpha\), \(\beta\) и \(\alpha + \beta\) больше или равен \(90^\circ\), разберите самостоятельно.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№18.3.png'>