№38376

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что если \(\alpha + \beta < 180^\circ\), то \(sin (\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38360:

Рассмотрите треугольник \(АВС\) с углами \(angle A = \alpha\) и \(angle В = \beta\). Пусть радиус описанной около него окружности равен \(R\). Тогда \(АВ = 2Rsin (\alpha + \beta)\). Проведите высоту \(СС_{1}\). Если оба угла \(\alpha\) и \(\beta\) острые, то \(AC_{1} = 2Rsin \beta cos \alpha\) и \(BC_{1} = 2R sin \alpha cos \beta\). Поэтому из равенства \(AB = AC_{1} + С_{1}В\) следует требуемое. Случай, когда один из углов \(\alpha\) и \(\beta\) тупой или прямой, разберите самостоятельно.