№38374

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Точка \(С\) расположена на гипотенузе \(AF\) прямоугольного треугольника \(АВF\). Докажите, что в треугольнике \(АВС\) биссектриса \(AD\), медиана \(ВМ\) и высота \(СН\) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда \(AB = CF\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38358:

Пусть медиана \(ВМ\) и высота \(СН\) пересекаются в точке \(L\). Отрезок \(AL\) является биссектрисой треугольника \(АВМ\) тогда и только тогда, когда \(BA: AM = BL: LM\). Кроме того, \(BL : LM = CF: CM = CF : AM\).