№38373

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В равнобедренном треугольнике \(АВС\) с основанием \(АС\) проведена биссектриса \(AD\). Докажите, что если \(BD = AC\), то \(AD = AC\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38357:

Пусть \(АВ = ВС = а\) и \(АС = b\). По свойству биссектрисы \(BD = \frac{a^2}{a+b}\) и \(DC = \frac{ab}{a+b}\) (рис. 228). По условию \(BD = AC\), т. e. \(\frac{a^2}{a+b} = b\). Следовательно, \(\frac{a}{a+b} = \frac{b}{a}\), поэтому \(CD: AC = AC : ВA\). Стороны треугольников \(ACD\) и \(ВАС\), заключающие равные углы, пропорциональны, поэтому они подобны и треугольник \(ACD\) тоже равнобедренный.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№17.41.png'>