№38365

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Вершины равностороннего треугольника \(АВС\) лежат на окружности. На меньшей дуге \(АВ\) отмечена точка \(М\). Прямые \(АС\) и \(ВМ\) пересекаются в точке \(К\), а прямые \(ВС\) и \(АМ\) - в точке \(N\). Докажите, что произведение длин отрезков \(АК\) и \(BN\) не зависит от выбора точки \(М\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38349:

Каждый из углов \(АКВ\) и \(МСВ\) равен \(60^\circ - \frac{1}{2} \cup AM\), поэтому \(\angle AKB = \angle MCB = \angle BAN\). Аналогично \(\angle КВА = \angle MCA = \angle ANB\). Следовательно, \(\Delta АКВ \sim \Delta ВАN\), поэтому \(АК : AB = BA : BN\), т. e. \(AK \cdot BN = AB^2\).