№38364

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Вершины равностороннего треугольника \(ABC\) лежат на окружности. На меньшей дуге \(BC\) этой окружности отмечена точка \(Р\). Отрезок \(АР\) пересекает сторону \(ВС\) в точке \(Q\). Докажите, что \(\frac{1}{PQ} = \frac{1}{PB} + \frac{1}{PC}\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38348:

Ha продолжении отрезка \(ВР\) за точку \(Р\) отметим точку \(D\) так, что \(PD = PC\). Тогда треугольник \(CPD\) равносторонний и \(CD \parallel QP\). Поэтому \(\frac{BP}{PQ} = \frac{BD}{CD} = \frac{BP+PC}{PC}\).