№38360

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В равнобедренном треугольнике \(АВС\) из середины \(Н\) основания \(ВС\) проведён перпендикуляр \(НЕ\) к боковой стороне \(АС\); точка \(O\) - середина отрезка \(НЕ\). Докажите, что прямые \(АО\) и \(ВЕ\) перпендикулярны.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38344:

Пусть точка \(D\) - середина отрезка \(ВН\). Треугольники \(ВНА\) и \(НЕА\) подобны, поэтому \(AD: AO = AB: AH\) и \(\angle DAH = \angle OAE\). Следовательно, \(\angle DAO = \angle BAH\). Поэтому \(\Delta DAO \sim \Delta ВАН\) и \(\angle DOA = \angle BHA = 90^\circ\). Кроме того, \(DO \parallel BE\).