№38355

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Внутри треугольника \(АВС\) отмечена точка \(O\), прямые \(АО\), \(ВО\) и \(СО\) пересекают стороны треугольника в точках \(А_{1}\), \(B_{1}\) и \(C_{1}\). Докажите, что \(\frac{AO}{OA_{1}} = \frac{AB_{1}}{B_{1}C} + \frac{AC_{1}}{C_{1}B}\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38339:

Проведите через точку \(А\) прямую, параллельную стороне \(ВС\). Прямые \(ВО\) и \(СО\) пересекают её в некоторых точках \(В_{2}\) и \(С_{2}\) (рис. 224). Из подобия треугольников следует, что \(\frac{AB_{1}}{B_{1}C} + \frac{AC_{1}}{C_{1}B} = \frac{AB_{2}}{BC} + \frac{AC_{2}}{BC} = \frac{C_{2}B_{2}}{BC} = \frac{AO}{OA_{1}}\).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№17.23.png'>