№38354

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Через точку \(Р\) биссектрисы угла проведена прямая, отсекающая на его сторонах отрезки, равные \(а\) и \(b\). Докажите, что величина \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) не зависит от выбора этой прямой.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38338:

Пусть проведённая прямая пересекает стороны угла с вершиной \(О\) в точках \(А\) и \(В\). Отметим на отрезках \(ОA\) и \(ОВ\) точки \(К\) и \(L\) так, что \(РК \parallel OB\) и \(PL \parallel OA\) (рис. 223). Тогда \(OKPL\) - ромб; обозначим длину его стороны буквой \(р\). Из подобия треугольников \(АКР\) и \(PLB\) получаем \((а - р): р = = р : (b - p)\).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№17.22.png'>