№38353

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Прямая, проходящая через вершину \(А\) квадрата \(ABCD\), пересекает сторону \(CD\) в точке \(Е\) и прямую \(ВС\) в точке \(F\). Докажите, что \(\frac{1}{AE^2} + \frac{1}{AF^2} = \frac{1}{AB^2}\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38337:

Из подобия прямоугольных треугольников \(ABF\) и \(EDA\) следует, что \(AB : AE = AD : AE = BF : AF\). Поэтому \(\frac{AB^2}{AE^2} + \frac{AB^2}{AF^2} = \frac{BF^2}{AF^2} + \frac{AB^2}{AF^2} = 1\).