№38352

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Углы треугольника \(ABC\) связаны соотношением \(3 \angle A + 2 \angle B = 180^\circ\). Докажите, что \(AB^2 = BC^2 + AB \cdot AC\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38336:

Из равенства \(\angle A + \angle B = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}\) следует, что \(\angle C = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}\). Поэтому на стороне \(АВ\) можно отметить точку \(D\) так, что \(AD = AC\). При этом \(\angle ACD = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}\) и \(\angle DCB = \angle C - \angle ACD = \angle A\). Следовательно, \(\Delta ABC \sim \Delta CBD\) и \(BC : BD = AB: CB\), т. e. \(BC : (AB - AC) = AB : CB\).