№38351

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Пусть \(А_{1}\) и \(С_{1}\) - проекции вершин \(А\) и \(С\) треугольника \(ABC\) на биссектрису внешнего угла при вершине \(В\). Докажите, что отрезки \(АС_{1}\) и \(СА_{1}\) пересекаются на биссектрисе угла \(АВС\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38335:

Пусть отрезки \(АС_{1}\) и \(СА_{1}\) пересекаются в точке \(К\). Из подобия пар треугольников \(АКА_{1}\) и \(С_{1}КС\), \(АВА_{1}\) и \(СВС_{1}\) следует, что \(АК : C_{1}K = AA_{1} : C_{1}C = BA_{1} : BC_{1}\), поэтому \(ВК \parallel AA_{1}\).