№38347

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В треугольнике \(АВС\) проведены биссектрисы \(АА_{1}\) и \(ВВ_{1}\). Докажите, что расстояние от любой точки \(М\) отрезка \(А_{1}В_{1}\) до прямой \(АВ\) равно сумме расстояний от точки \(М\) до прямых \(АС\) и \(ВС\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38331:

Точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Пусть \(а\) - расстояние от точки \(А_{1}\) до прямых \(АС\) и \(АВ\), \(b\) - расстояние от точки \(В_{1}\) до прямых \(АВ\) и \(ВС\). Далее, \(А_{1}М : В_{1}М = р : q\). Тогда расстояния от точки \(М\) до прямых \(АС\) и \(ВС\) равны \(\frac{qa}{p+q}\) и \(\frac{pb}{p+q}\) соответственно. Согласно задаче 17.12 расстояние от точки \(М\) до прямой \(АВ\) равно \(\frac{qa+pb}{p+q}\).