№38341

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Прямая пересекает стороны \(AB\) и \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) в точках \(E\) и \(F\), а диагональ \(АС\) - в точке \(G\). Докажите, что \(\frac{AB}{AE} + \frac{AD}{AF} = \frac{AC}{AG}\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38325:

Выберите на диагонали \(АС\) точки \(В_{1}\) и \(D_{1}\) так, что \(BB_{1} \parallel EF\) и \(DD_{1} \parallel EF\) \(рис. 219\). Треугольники \(ABB_{1}\) и \(CDD_{1}\) равны по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому \(AB_{1} = CD_{1}\). Следовательно, \(\frac{AB}{AE} + \frac{AD}{AF} = \frac{AB_{1}}{AG} + \frac{AD_{1}}{AG} = \frac{CD_{1} + AD_{1}}{AG} = \frac{AC}{AG}\).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№17.9.png'>