№38338

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Через точку \(Р\) медианы \(СС_{1}\) треугольника \(АВС\) проведены прямые \(АА_{1}\) и \(ВВ_{1}\) (точки \(А_{1}\) и \(В_{1}\) лежат на сторонах \(СВ\) и \(СА)\). Докажите, что \(A_{1}B_{1} \parallel AB\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38322:

Рассмотрим середину \(A_{2}\) отрезка \(A_{1}B\). Из равенств \(CA_{1} : A_{1}A_{2} = CP : PC_{1}\) и \(А_{1}А_{2} : А_{1}В = 1: 2\) следует, что \(CA_{1} : А_{1}В = СР : 2РC_{1}\). Аналогично \(СВ_{1} : В_{1}А = СР : 2РС_{1}\).