№38335

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На основании \(AD\) трапеции \(АВСD\) отмечена точка \(Е\) так, что \(АЕ = ВС\). Отрезки \(СА\) и \(СЕ\) пересекают диагональ \(BD\) в точках \(О\) и \(Р\). Докажите, что если \(BO = PD\), то \(AD^2 = BC^2 + AD \cdot BC\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38319:

Согласно задаче 17.1 \(BC : AD = BO : OD\). Из равенства \(BO = PD\) следует, что \(BO: OD = DP : PB = DE : EA = DE : ВC\). Следовательно, \(BC^2 = DE \cdot AD = \(AD - BC\) \cdot AD = AD^2 - BC \cdot AD\).