№38330

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что для двух данных точек \(А\) и \(В\) множество всех точек \(М\), для которых величина \(АМ^2 - BМ^2\) принимает данное значение, - это прямая, перпендикулярная отрезку \(АВ\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38314:

Согласно задаче 16.9 для всех точек \(М\), лежащих на прямой, перпендикулярной прямой \(АВ\), величина \(АМ^2 - BM^2\) постоянна. Поэтому достаточно проверить, что для разных точек \(С\) прямой \(АВ\) величина \(АС^2 - ВС^2\) принимает разные значения. Pacсмотрим сначала случай, когда точки \(В\) и \(С\) лежат по одну сторону от середины \(О\) отрезка \(АВ\). В этом случае \(АС^2 - ВС^2 = (AO + OC)^2 - (ВО - ОС)^2 = 4АO \cdot ОС\). Если же точки \(В\) и \(С\) лежат по разные стороны от точки \(О\), то \(АС^2 - ВС^2 = -4AO \cdot ОС\).