№38329
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Условие
Точка \(М\) движется по прямой, перпендикулярной отрезку \(АВ\). Докажите, что при этом величина \(АМ^2 - BM^2\) остаётся постоянной.
Ответ
Утверджение доказано.
Решение № 38313:
Пусть \(C\) - основание перпендикуляра, проведённого из точки \(M\) к прямой \(AB\). Тогда \(AM^2 = AC^2 + MC^2\) и \(BM^2 = BC^2 + MC^2\). Поэтому \(AM^2 - BM^2 = АС^2 - ВС^2\).