№38326

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Вершины квадрата \(ABCD\) расположены на окружности, точка \(X\) движется по этой окружности. Докажите, что при этом величина \(AX^2 + BX^2 + CX^2 + DX^2\) остаётся постоянной.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38310:

Треугольники \(ACX\) и \(BDX\) прямоугольные, поэтому \(AX^2 + CX^2 = AC^2 = 4R^2\) и \(BX^2 + DX^2 = BD^2 = 4R^2\), где \(R\) радиус окружности.