№38325

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Из точки \(М\) проведены перпендикуляры \(MP\), \(MQ\) и \(MR\) к сторонам \(АВ\), \(ВС\) и \(СА\) треугольника \(АВС\) или к их продолжениям. Докажите, что \(АР^2 + BQ^2 + CR^2 = PB^2 + QC^2 + RA^2\) \(риc. 64\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38309:

По теореме Пифагора \(AP^2 + BQ^2 + CR^2 = (AM^2 - PM^2) + (BM^2 - QM^2) + (CM^2 - RM^2)\) и \(PB^2 + QC^2 + RA^2 = (BM^2 - PM^2) + (CM^2 - QM^2) + (AM^2 - RM^2)\). Эти выражения равны.