№38324

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Медианы треугольника \(АВС\), проведённые из вершин \(А\) и \(В\), перпендикулярны. Докажите, что его стороны: \(а = ВС\), \(b = СА\) и \(с = АВ\) связаны соотношением \(а^2 + b^2 = 5c^2\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38308:

Пусть медианы, проведённые из вершин \(А\) и \(В\), равны \(3m\) и \(3n\). Тогда \(с^2 = 4(m^2 + n^2)\), \(a^2= 4(4m^2 + n^2)\) и \(b^2 = 4(m^2 + 4n^2)\).