№38282

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанный угол,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На окружности даны точки \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\) в указанном порядке, \(А_{1}\), \(В_{1}\), \(С_{1}\) и \(D_{1}\) - середины дуг \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\). Докажите, что \(A_{1}C_{1} \perb B_{1}D_{1}\).

Ответ

Утверждение доказано

Решение № 38266:

Пусть \(О\) - точка пересечения хорд \(А_{1}С_{1}\) и \(B_{1}D_{1}\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) и \(\delta\) - градусные меры дут \(АВ\), \(ВС\), \(CD\) и \(DA\). Тогда \(\angle A_{1}OB_{1} = \frac{1}{2}(\cupA_{1}B + \cupBB_{1} + \cupC_{1}D + \cupDD_{1}) = \frac{1}{4}(\alpha + \beta + \gamma + \delta) = 90^\circ\).