№38273

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанный угол,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Из точки \(М\), двигающейся по окружности, проводятся перпендикуляры \(МР\) и \(MQ\) к диаметрам \(АВ\) и \(CD\). Докажите, что длина отрезка \(PQ\) не зависит от положения точки \(М\).

Ответ

Утверждение доказано

Решение № 38257:

Пусть \(О\) - центр данной окружности. Точки \(Р\) и \(Q\) лежат на окружности с диаметром \(ОМ\). Вписанный в эту окружность угол \(POQ\) равен либо углу \(АОС\), либо смежному с ним углу \(AOD\). Длина диаметра \(ОМ\) постоянна, поэтому длина хорды \(PQ\) тоже постоянна.