№38270

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанный угол,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В окружности проведены пересекающиеся хорды \(АВ\) и \(CD\). На отрезке \(АВ\) отмечена точка \(М\) так, что \(АМ = АС\), а на отрезке \(CD\) - точка \(N\) так, что \(DN = DB\). Докажите, что если точки \(М\) и \(N\) не совпадают, то прямые \(AD\) и \(MN\) параллельны.

Ответ

Утверждение доказано

Решение № 38254:

Вписанные углы \(ВАС\) и \(BDC\) равны, поэтому равны углы при основаниях равнобедренных треугольников \(CAM\) и \(BDN\). Следовательно, углы \(ВМС\) и \(BNC\) равны, а значит, точки \(С\), \(M\), \(N\) и \(В\) лежат на одной окружности. Если точки \(С\) и \(М\) лежат по одну сторону от прямой \(NB\), то \(\angle NMB = \angle NCB = \angle MAD\) (рис. 205, а), а если по разные стороны, то \(\angle NMA = 180^\circ - \angle NMB = \angle NCB = \angle MAD\) (рис. 205, б). <br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№14.11.png'>