№38267

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанный угол,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

а) Внутри параллелограмма \(ABCD\) выбрана точка \(Р\) так, что \(\angle PAD = \angle PCD\). Докажите, что \(\angle РВС = \angle PDC\). б) Внутри параллелограмма \(ABCD\) выбрана точка \(Р\) так, что \\(angle APB + \angle CPD = 180^\circ\). Докажите, что \(\angle PBC = \angle PDC\).

Ответ

Утверждение доказано

Решение № 38251:

a) Достройте треугольник \(ВСР\) до параллелограмма \(BCQP\). Тогда \(\angle PQD = \angle PCD\), поэтому точки \(P\), \(Q\), \(С\) и \(D\) лежат на одной окружности. Следовательно, \(\angle PDC = \angle PQC = \angle PBC\). б) Достройте треугольник \(ВСР\) до параллелограмма \(BCQP\). Тогда \(\angle CQD + \angle CPD = 180^\circ\), поэтому точки \(P\), \(Q\), \(С\) и \(D\) лежат на одной окружности. Следовательно, \(\angle PDC = \angle PQC = \angle PBC\).