№38264

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанный угол,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Из точки \(Н\), лежащей на стороне \(АС\) остроугольного треугольника \(АВС\), проведены перпендикуляры \(НР\) и \(HQ\) к прямым \(АВ\) и \(ВС\). Оказалось, что точки \(А\), \(Р\), \(Q\) и \(С\) лежат на одной окружности. Докажите, что \(ВН\) - высота треугольника \(АВС\).

Ответ

Утверждение доказано

Решение № 38248:

Точки \(А\) и \(Q\) лежат по разные стороны от хорды \(PC\), поэтому \(\angle PAC + \angle PQC = 180^\circ\). Следовательно, \(\angle A + \angle PQH - 90^\circ\). Точки \(Р\) и \(Q\) лежат на окружности с диаметром \(ВН\), поэтому \(\angle PQH = \angle PBH = \angle ABH\). Таким образом, \(\angle A + \angle ABH = 90^\circ\).