№38207

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На каждой стороне одного параллелограмма лежит ровно одна вершина другого параллелограмма. Докажите, что эти параллелограммы имеют общую точку пересечения диагоналей.

Ответ

Утверждение доказано

Решение № 38191:

Пусть исходный параллелограмм \(ABCD\), вписанный в него — \(PQRS\); их центры — \(O\) и \(O’\) соответственно. Тогда \(AO =\frac{ \(AB + BC\)}{2}\), \(AO' = \frac{\(AP + AR\)}{2}\). Докажем равенство векторов AO и AO' и, таким образом, совпадение точек O и O'. Поскольку \(ABCD\) — параллелограмм, имеем попарное равенство векторов: \(AB = DC\), \(BC = AD\). Векторы \(AB\) и \(BC\) неколлинеарны, следовательно, они образуют базис. В силу того, что \(PQRS\) — параллелограмм, векторы, лежащие на противоположных сторонах, равны. Рассмотрим, например, равенство векторов \(PQ = SR\) \(PQ = PB + BQ \equiv \alpha \cdot AB + \beta \cdot BC\) \(SR = SD + DR \equiv \delta \cdot AD + \gamma \cdot DC = γ \cdot AB + \delta \cdot BC\) \(\alpha, \beta, \gamma и \delta — некоторые положительные числа от 0 до 1\). Поскольку \(PQ = SR\), то \( \alpha = \gama \) и \( \beta = \delta \) в силу единственности разложения по базису. Отсюда \(AO' = \frac{\(AP + AR\)}{2} = \frac{\(AP + AD + DR\)}{2} = \frac{\[\(1−\alpha\) \cdot AB + BC + \alpha \cdot AB\]}{2} = \frac{\(AB + BC\)}{2} = AO\). Утверждение доказано