№38206

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Биссектриса угла \(А\) параллелограмма ABCD пересекает сторону \(ВС\) в точке \(М\), а биссектриса угла \(АМС\) проходит через вершину \(D\). Найдите углы параллелограмма, если известно, \(MDC = 45^\circ\)

Ответ

\(\angle A = 60^\circ\) , \(\angle B = 120^\circ\) , \(\angle C = 60^\circ\) , \(\angle D = 120^\circ\)

Решение № 38190:

Пусть /(\angle BAD = x\). Тогда \(\angle ABM = 180^\circ – x\) (как внутренние односторонние углы при пересечении параллельных прямых), а \(\angle BAM = x/2\). Сумма углов треугольника \(ABM\): \(\angle BAM + \angle ABM + \angleBMA = 180 ^\circ\) ; \(\frac{x}{2} + 180^\circ - x + \angle BMA = 180\); \(\angle BMA = x / 2\). \(\angle AMC = 180 ^\circ - <\angle BMA = 180 ^\circ - x / 2\). \(\angle CMD = \angle AMC / 2\) (деление биссектрисой). \(\angle CMD = (180^\circ - x / 2) / 2 = 90^\circ - x / 4\). Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому \(\angle MCD = \angleBAD = x\). Сумма углов треугольника \(MCD\): \(\angle CMD + \angle MCD + \angle MDC = 180^\circ \); \(\(90^\circ - x / 4\) + x + 45^\circ = 180^\circ\) ; \(3x / 4 = 45^\circ\) ; \(x = 60^\circ\) . \(\angle A = \angle\) \(C = 60^\circ\) ; \(\angle B = \angle D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) .<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№12.1.png'>