№3645

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) задана формулой \(x_{n}=nx_{n-1}+2, x_{0}=c.\) При каких значениях параметра c последовательность сходится?

Ответ

c=2-2e

Решение № 3645:

Для решения задачи о сходимости последовательности \( \{ x_n \} \), заданной формулой \( x_n = n x_{n-1} + 2 \) с начальным условием \( x_0 = c \), выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем начальное условие: \[ x_0 = c \] </li> <li>Вычислим первый член последовательности: \[ x_1 = 1 \cdot x_0 + 2 = c + 2 \] </li> <li>Вычислим второй член последовательности: \[ x_2 = 2 \cdot x_1 + 2 = 2(c + 2) + 2 = 2c + 4 + 2 = 2c + 6 \] </li> <li>Вычислим третий член последовательности: \[ x_3 = 3 \cdot x_2 + 2 = 3(2c + 6) + 2 = 6c + 18 + 2 = 6c + 20 \] </li> <li>Общий вид последовательности: \[ x_n = n! \cdot c + \sum_{k=1}^{n} k! \] где \( n! \) — факториал \( n \), а сумма \(\sum_{k=1}^{n} k!\) представляет собой сумму факториалов от 1 до \( n \). </li> <li>Анализируем поведение последовательности: \[ x_n = n! \cdot c + \sum_{k=1}^{n} k! \] Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы \(\lim_{n \to \infty} x_n\) существовал и был конечным. </li> <li>Рассмотрим случай \(c \neq 0\): \[ \lim_{n \to \infty} n! \cdot c = \infty \quad \text{(так как факториал растет бесконечно быстро)} \] Следовательно, при \(c \neq 0\) последовательность расходится. </li> <li>Рассмотрим случай \(c = 0\): \[ x_n = \sum_{k=1}^{n} k! \] Сумма факториалов также растет бесконечно быстро, так как каждый член суммы растет экспоненциально. </li> <li>Заключение: Поскольку при \(c \neq 0\) последовательность расходится, и при \(c = 0\) последовательность также расходится, последовательность \( \{ x_n \} \) не сходится ни при каких значениях параметра \(c\). </li> </ol> Таким образом, последовательность \( \{ x_n \} \) не сходится ни при каких значениях параметра \(c\).