№3641

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Пусть последовательность \(\left \{ a_{n} \right \} \)сходится, а последовательность \(\left \{ b_{n} \right \} \)ограничена, причем при всех натуральных n выполнено неравенство\( b_{n+1}-b_{n}\geqslant a_{n+1}-a_{n}\). Докажите, что последовательность \( \left \{ b_{n} \right \}\) сходится.

Ответ

NaN

Решение № 3641:

Приведённое неравенство равносильно тому, что последовательность\( \left \{ b_{n}-a_{n} \right \}\) возрастает. Будучи разностью двух ограниченных, эта последовательность ограничена, а тогда она сходится. Таким образом, поскольку \(b_{n}=a_{n}+\left ( b_{n}-a_{n} \right )\), то последовательность \(\left \{ b_{n} \right \}\) сходится как сумма двух сходящихся последовательностей.