№3631

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Исследуйте на сходимость последовательность \(x_{1}=\frac{6}{7}, x_{n+1}=4-\frac{3}{x_{n}}\)

Ответ

NaN

Решение № 3631:

Как обычно, мешает разрыв. Было бы хорошо сказать, что функция возрастает и последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает. Но всё не так: \(x_{2}=\frac{1}{2}; x_{3}=-2; x_{4}=\frac{11}{2}; x_{5}=3\frac{5}{11}; x_{6}=3\frac{5}{38}\). При \(n\leqslant 4\) последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывает. Значение ппредела получается из уравнения \(a=4-\frac{3}{a}\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}a-3 \\ a=1 \end{matrix} \right \) Но \(\lim_{n \to \propto} x_{n} =3 \), и это, вообще говоря, надо доказать.