№3625

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислите при каком значении \(x_{1}\) сходится последовательность\( x_{n+1}=x_{n}^{3}+\frac{3}{4}x_{n} \)

Ответ

x_{1}\in \left [ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right ]

Решение № 3625:

Для решения задачи о нахождении значения \(x_1\), при котором последовательность \(x_{n+1} = x_n^3 + \frac{3}{4}x_n\) сходится, выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение последовательности: \[ x_{n+1} = x_n^3 + \frac{3}{4}x_n \] </li> <li>Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо найти стационарные точки, то есть значения \(x\), при которых \(x_{n+1} = x_n\). Запишем уравнение: \[ x = x^3 + \frac{3}{4}x \] </li> <li>Перенесем все члены уравнения в одну сторону: \[ x - x^3 - \frac{3}{4}x = 0 \] </li> <li>Вынесем общий множитель \(x\): \[ x(1 - x^2 - \frac{3}{4}) = 0 \] </li> <li>Упростим выражение в скобках: \[ x(1 - x^2 - \frac{3}{4}) = 0 \implies x(1 - \frac{4}{4}x^2 - \frac{3}{4}) = 0 \implies x(1 - \frac{4x^2 + 3}{4}) = 0 \implies x(\frac{4 - 4x^2 - 3}{4}) = 0 \implies x(\frac{1 - 4x^2}{4}) = 0 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на 4: \[ x(1 - 4x^2) = 0 \] </li> <li>Рассмотрим два случая: <ol> <li>\(x = 0\)</li> <li>\(1 - 4x^2 = 0\)</li> </ol> </li> <li>Решим уравнение \(1 - 4x^2 = 0\): \[ 1 - 4x^2 = 0 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2} \] </li> <li>Таким образом, стационарные точки уравнения \(x_{n+1} = x_n^3 + \frac{3}{4}x_n\) являются \(x = 0\) и \(x = \pm \frac{1}{2}\).</li> <li>Для проверки сходимости последовательности, рассмотрим поведение последовательности в окрестности этих точек. Определим производную функции \(f(x) = x^3 + \frac{3}{4}x\): \[ f'(x) = 3x^2 + \frac{3}{4} \] </li> <li>Производная в точке \(x = 0\): \[ f'(0) = 3 \cdot 0^2 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \] </li> <li>Производная в точках \(x = \pm \frac{1}{2}\): \[ f'\left(\pm \frac{1}{2}\right) = 3 \left(\pm \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = 3 \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \] </li> <li>Поскольку производная в точках \(x = 0\) и \(x = \pm \frac{1}{2}\) больше 1, последовательность не будет сходиться к этим точкам.</li> </ol> Таким образом, последовательность \(x_{n+1} = x_n^3 + \frac{3}{4}x_n\) не сходится к какому-либо значению \(x_1\). Ответ: Последовательность не сходится.