№3621

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Докажите, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится: \(x_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+...+\frac{1}{n^{n}} \)

Ответ

NaN

Решение № 3621:

Так как \(\forall n\in N x_{n+1}-x=\frac{1}{\left ( n+1 \right )^{n+1}}> 0\), то последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает. Кроме того \(\forall n\in N x_{n}< 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}} \right )< \frac{3}{2}\). То есть последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) ограничена сверху.