№3607

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге:

Условие

При каких значениях параметра a последовательность \(x_{n}=\sqrt{an^{2}+bn+2}-n, n\in N\), имеет конечный предел?

Ответ

1

Решение № 3607:

1) Если \(a\neq 0, то \lim_{n \to \propto}\sqrt{an^{2}+bn+2}-n=\lim n \to \propto\frac{an^{2}+bn+2-n^{2}}{\sqrt{an^{2}+bn+2}+n}=\lim_{n \to \propto}\frac{\left ( a-1 \right )n^{2}+bn+2}{n\left ( \sqrt{a+\frac{b}{n}+\frac{2}{n^{2}}+1} \right )}=A\) Ясно, что если \(a=1\), то \(A=\frac{b}{2}\), еcли \(a> 1\), то \(A=+\propto \), и если \(a< 1, A=-\propto\) .Тогда \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1 при b=2\) 2) Если a=0. Тогда при всех значениях b имеем \(\lim_{n \to \propto}\left ( \sqrt{bn+2}-n \right )=-\propto \)