№3606

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}= \frac{\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{n+1}}{\sqrt[4]{n+1}+\sqrt[4]{n}}\)

Ответ

0

Решение № 3606:

\( \lim_{n \to \propto}\frac{\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{n+1}}{\sqrt[4]{n+1}+\sqrt[4]{n}}=\lim_{n \to \propto}\frac{\left ( n-n-1 \right )\left ( \sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n} \right )\left ( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right )}{\left ( \sqrt[3]{n^{2}}+\sqrt[3]{n^{2}+n}+\sqrt[3]{\left ( n+1 \right )^{2}} \right )\left ( n+1-n \right )}=\lim_{n \to \propto}\frac{-n^{\frac{1}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+\frac{1}{n}}-1 \right )n^{\frac{1}{2}}\left ( \sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1} \right ) }{n\frac{2}{3}\left ( \sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}} \right )}=0\)