№35701

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, разные задачи на проценты,

Задача в следующих классах: 6 класс 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Девятая часть персонала некоторого завода работает в заводоуправлении, ещё 55 сотрудников — в сборочном цехе, а остальные — в нескольких цехах, численность каждого из которых составляет \(\frac{1}{7}\) от персонала завода. Чему равна общая численность персонала завода?

Ответ

315

Решение № 35688:

Обозначим общее число сотрудников завода через \(n\), а количество подразделений завода, не считая сборочного цеха и заводоуправления, через \(k\). По условию задачи можно составить уравнение \(\frac{n}{9}+\frac{kn}{7}+55=n\); откуда \(\frac{8n}{9}-\frac{kn}{7}=55\), и после умножения обеих частей на 63 имеет место равенство \(56n-9kn=55\cdot 63\), то есть \(n(56\cdot 9k)=55\cdot 63\). Следовательно, число \(56-9k\) должно быть положительным делителем числа, стоящего в правой части. Из условия \(56-9k>0\) получим \(k\leq 6\). Заметим, что при чётных \(k\) число \((56-9k)\) чётно, а значит, чётно и число \(n(56-9k)\), в то время как \(55\cdot 63=5\cdot З^{2}\cdot 7\cdot 11\) — нечётно. Значит, равенство в этом случае выполняться не может и, следовательно, \(k\) нечётно. В силу ограничения \(k\leq 6\) приходим к тому, что \(k=1\), \(k=3\) или \(k=5\). При \(k=1\) получим \(56-9k=47\) — не является делителем числа \(55\cdot 63\). При \(k=3\) получим \(56-9k=29\) — не является делителем числа \(55\cdot 63\). При \(k=5\) получим \(56-9k=11\) — является делителем числа \(55\cdot 63\). В последнем случае \(n=\frac{55\cdot 63}{11}=315\). Заметим, что число 315 делится и на 7, и на 9, откуда следует целочисленность количества сотрудников каждого отдела.