Задача №17408

№17408

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, неравенство треугольника, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?

Ответ

4 или 5.

Решение № 17406:

У квадрата и правильного пятиугольника все диагонали равны. Докажем, что других выпуклых многоугольников со всеми равными диагоналями не существует. Предположим, что все диагонали выпуклого многоугольника \(A_{1}A_{2} ...A_{1}\) равны и \(n \geqslant 6\) (рис. 217). Рассмотрим выпуклый четырехугольник \(A_{1}A_{2}A_{4}A_{5}\). Сумма длин его диагоналей \(A_{1}A_{4} \)и \(A_{2}A_{5}\) больше суммы противоположных сторон \(A_{2}A_{4}\) и \(A_{1}A_{5}\), что невозможно, так как по предположению эти суммы равны. <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/102_answer_gord.png' />

Поделиться в социальных сетях

Комментарии (0)