№17407

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, неравенство треугольника, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен \( 20^{\circ} \). Докажите, что боковая сторона больше удвоенного основания, но меньше утроенного.

Ответ

NaN

Решение № 17405:

На боковой стороне \(AC\) данного равнобедренного треугольника \(ABC\) отложим отрезок \(CD\), равный основанию \(BC\) (рис. 216,а). Тогда \( \angle ABD = 80^{\circ} −50^{\circ} = 30^{\circ}\), значит, в треугольнике \(ABD\) угол \(ABD\) больше угла \(BAD\), поэтому \(AD > BD > BC\) (в равнобедренном треугольнике \(BDC\) основание \(BD\) лежит против большего угла \(C\)). Следовательно, \( AC = AD + CD > BC + CD = 2BC\). Пусть точка \(B_{1}\) симметрична точке \(B\) относительно прямой \(AC\), а точка \(B_{2}\) симметрична \(C\) относительно \(AB_{1}\) (рис. 216,б). Тогда \(\angle BAB_{2} = 3\angle BAC = 60^{\circ} и AB_{2} = AB\), поэтому треугольник \(BAB_{2}\) равносторонний. Следовательно, \(AB = BB_{2} < BC + CB_{1} + B_{1}B_{2} = 3BC\). <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/101_answer_gord.png' />