№17406

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, неравенство треугольника, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

Высота треугольника в два раза меньше его основания, а один из углов при основании равен \( 75^{\circ} \). Докажите, что треугольник равнобедренный.

Ответ

NaN

Решение № 17404:

Пусть в треугольнике \(ABC\) угол \(BAC\) равен \( 75^{\circ}\), а высота \(BN\) вдвое меньше стороны \(AC\) (см. рис. ниже). Докажем, что \(BC = AC\). Предположим, что \(BC < AC\). Тогда \( \angle ABC> 75^{\circ}, \angle ACB< 30^{\circ}, BN< \frac{1}{2}BC< \frac{1}{2}AC \) что противоречит условию. Аналогично докажем, что \(BC\) не может быть больше \(AC\). <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/100_answer_gord.png' />