№17405

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, неравенство треугольника, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до трех его вершин больше полупериметра, но меньше периметра треугольника.

Ответ

NaN

Решение № 17403:

Cледует, что для точки \(M\), лежащей внутри треугольника \(ABC\) (см. рис. ниже), верны неравенства \(MB + MC < AB + AC, MB + MA < AC + BC, MA + MC < AB + BC\). Сложив их почленно, получим \(2(MA + MB + MC) < 2(AB + BC + AC)\). Отсюда следует, что указанная сумма расстояний меньше периметра треугольника. Применяя неравенство треугольника к треугольникам \(AMC, BMC\) и \(AMB\), получим \(AM + MC > AC, BM + MC > BC и AM + MB > AB\), откуда \( AM+BN+CM> \frac{1}{2}\left ( AB+AC+BC \right ) \) . <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/99_answer_gord.png' />