№17398

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, неравенство треугольника, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

Пусть \(AA_{1}\) — медиана треугольника \(ABC\). Докажите, что угол \(A\) острый тогда и только тогда, когда \( AA_{1}> \frac{1}{2}BC \) .

Ответ

NaN

Решение № 17396:

Пусть \( \angle BAC < 90^{\circ}\). Докажем, что точка \(A\) лежит вне окружности с диаметром \(BC\). Ясно, что точка \(A\) не может лежать на этой окружности, так как тогда \( \angle BAC = 90^{\circ}\). Предположим, что она внутри окружности (рис. 207,а), и продолжим отрезок \(BA\) до пересечения с окружностью в точке \(M\). Тогда \( \angle BAC > \angle BMC = 90^{\circ}\), что невозможно. Значит, точка \(A\) лежит вне окружности. Следовательно, \( AA_{1}> \frac{1}{2}BC \) . Пусть \( AA_{1}> \frac{1}{2}BC \) . Тогда точка \(A\) лежит вне окружности с диаметром \(BC\). Если луч \(AB\) пересекает окружность в точке \(M\) (рис. 207,б), то \( \angle BAC < \angle BMC = 90^{\circ}\). <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/89_answer_gord.png' />