№17395

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, неравенство треугольника, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

В треугольнике \(ABC\) на наибольшей стороне \(BC\0, равной \(a\), выбирается точка \(M\). Найдите наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников \(BAM\) и \(ACM\).

Ответ

\frac{1}{2}a

Решение № 17393:

Проекции центров \( O_{1}\) и \(O_{2}\) данных окружностей на \(BC\) — середины \(P\) и \(Q\) отрезков \(BM\) и \(MC\) (рис. 204). Тогда \( O_{1}O_{2}\geqslant PQ=\frac{1}{2}a \). Если \(AM\) — высота треугольника \(BAC\), то \( O_{1}O_{2}=PQ=\frac{1}{2}a \) . В остальных случаях \( O_{1}O_{2}> \frac{1}{2}a \) . <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/86_answer_gord.png' />