№17382

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, неравенство треугольника, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

Докажите, что медиана треугольника \(ABC\), проведенная из вершины \(A\), меньше полусуммы сторон \(AB\) и \(AC\), но больше их полуразности.

Ответ

NaN

Решение № 17380:

Отложим на продолжении медианы \(AM\) за точку \(M\) отрезок \(MK\), равный \(AM\) (см. рис. ниже). Тогда \(CK = AB\). Применяя неравенство треугольника к треугольнику \(ABK\), получим \(2AM = AK < AB + BK = AB + AC\) и \(2AM = AK > AB − BK = AB − AC\). Отсюда следует, что \( \frac{1}{2}\left ( AB-AC \right )< AM < \frac{1}{2}\left ( AB+AC \right ) \) . <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/73_answer_gord.png'' />