№1733

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебраические дроби, Основные понятия,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Н.А.Шапошников, Н.К.Вальцов. Сборник алгебраических задач для средней школы,издание 13 переработанное,часть 2,государственное учебно-педагогическое издание 1933

Условие

Докажите, что если в дроби \(\frac{a^{3}-2b^{3}}{3a^{3}-a^{2}b-4ab^{2}}\) переменные \(a\) и \(b\) заменить соответственно на \(pa\) и \(pb\), то получим дробь, тождественно равную данной. Используя доказанное тождество, найдите значение заданной дроби при: \(a = \frac{5}{113}, b = \frac{4}{113}\)

Ответ

NaN

Решение № 1733:

\(\frac{a^{3}-2b^{3}}{3a^{3}-a^{2}b-4ab^{2}}; p_a, p_b; \frac{(pa)^{3}-2(pb)^{3}}{3(pa)^{3}-(pa)^{2}(pb)-4(pa)(pb)^{2}}=\frac{p^{3}a^{3}-2p^{3}b^{3}}{3p^{3}a^{3}-p^{2}a^{2}pb-4pap^{2}b^{2}}=\frac{p^{3}(a^{3}-2b^{3})}{3p^{3}a^{3}-p^{3}a^{2}b-4p^{3}ab^{2}}=\frac{p^{3}(a^{3}-2b^{3})}{p^{3}(3a^{3}-a^{2}b-4ab^{2})}=\frac{a^{3}-2b^{3}}{3a^{3}-a^{2}b-4ab^{2}}; a=\frac{5}{113}; b=\frac{4}{113}; \frac{(\frac{5}{113})^{3}-2(\frac{4}{113})^{3}}{3(\frac{5}{113})^{3}-(\frac{5}{113})^{2}\cdot \frac{4}{113}-4\frac{5}{113}(\frac{4}{113})^{2}}=\frac{\frac{125}{113^{3}}-2\tfrac{64}{113^{3}}}{(\frac{5}{113^{3}})^{2} \cdot (3 \cdot \frac{5}{113}-\frac{4}{113})-4\tfrac{5}{113} \cdot \frac{16}{113^{2}}}=\frac{\frac{125}{113^{3}}-\frac{128}{113^{3}}}{\frac{25}{113^{2}} \cdot (\frac{15}{113}-\frac{4}{113})-\frac{20}{113} \cdot \frac{16}{113^{2}}}=\frac{-\frac{3}{113^{3}}}{\frac{25}{113^{2}} \cdot \frac{11}{113}-\frac{320}{113^{3}}}=\frac{-\frac{3}{113^{3}}}{\frac{275}{113^{3}}-\frac{320}{113^{3}}}=-\frac{3}{113^{3}} \cdot (-\frac{113^{3}}{45})=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}\)