№15872

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.

Условие

Решить системы уравнений: \( \left\{\begin{matrix} 2^{\frac{x-y}{2}}+2^{\frac{y-x}{x}}=2.5, & & \\ \lg \left ( 2x-y \right )+1=\lg \left ( y+2x \right )+\lg 6 & & \end{matrix}\right. \)

Ответ

\( \left ( 4; 2 \right ) )\

Решение № 15870:

ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x-y> 0, & & \\ y+2x> 0. & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы получаем \( \left ( 2^{\frac{x-y}{2}} \right )^{2}-2.5*2^{\frac{x-y}{2}}+1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\frac{x-y}{2}} \), найдем \( \left ( 2^{\frac{x-y}{2}} \right )_{1}=2^{-1} \), или \( \left ( 2^{\frac{x-y}{2}} \right )_{2}=2 \), откуда \( \left ( x-y \right )_{1}=-2 \), или \( \left ( x-y \right )_{2}=2 \) Из второго уравнения системы получаем \( \lg 10\left ( 2x-y \right )=\lg 6\left ( 2x+y \right ) \), откуда \( 10\left ( 2x-y \right )=6\left ( 2x+y \right ), x=2y \) Таким образом, исходная система эквивалента системам уравнений: \left\{\begin{matrix} x-y=-2 & & \\ x=2y & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x-y=2 & & \\ x=2y & & \end{matrix}\right. \), откуда: \( \left\{\begin{matrix} x_{1}=-4 & & \\ y_{1}=-2 & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=4 & & \\ y_{2}=2 & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{1}=-4 & & \\ y _{1}=-2 & & \end{matrix}\right. \) ( не подходит по ОДЗ).